Le terme de fractale a été introduit en 1975 par Benoît Mandelbrot, et est dérivé du latin fractus, qui signifie brisé, irrégulier. Il désigne différents objets géométriques de structure non euclidienne. Les premiers " contacts " avec ces objets remontent à un peu plus de 150 ans, mais leur complexité, l'absence de moyens pour pouvoir les représenter convenablement ont empêché à cette branche des mathématiques de se développer. Ce n'est ainsi que depuis le début des années 60, avec l'arrivée de l'ordinateur, que l'on a vraiment commencé à s'y intéresser. Depuis, de nombreuses propriétés ont été démontrées, de nombreuses applications également, mais il reste encore beaucoup à découvrir. Le but de ce compte-rendu est de présenter quelques aspects de ces objets fascinants, en particulier l'ensemble de Cantor et les ensembles de Mandelbrot et de Julia.

Petit Historique

• En 1845, P.F. Verhulst propose un modèle de croissance pour une population, appelé diagramme de bifurcation, qui s'avère chaotique pour certaines valeurs du taux de croissance.
• En 1879, le Lord Arthur Cayley tente de déterminer les domaines d'attraction des racines d'un polynôme par la méthode de Newton.
• A la même époque commencent à apparaître divers AFC (Attracteurs de Familles de Contractions) ou IFS (Iterated Function Systems) construits géométriquement à l'aide de similitudes. Le premier est l'ensemble de Cantor, "inventé" en 1883 .
• Durant la première guerre mondiale, Gaston Julia et Pierre Fatou étudient les applications dans le plan complexe.
• En 1963, Lorenz remarque une corrélation entre le diagramme de bifurcation et le comportement de turbulences.
• En 1977, Feigenbaum détermine la valeur du nombre qui porte son nom.
• En 1980, l'ensemble de Mandelbrot est tracé pour la première fois.